Odmah po potpisivanju ugovora, Bešić je krenuo na Tajland gde je Everton na turneji.
Njegova je izuzetno nahvalio trener Evertona Roberto Martinez:
"Mlad igrač koji je neverovatno napredovao u protekle dve godine. U veznom redu, pogovo na mestu zadnjeg veznog, odigrao je na neverovatnom nivou. Na Mundijalu u Brazilu, u dresu reprezentacije BiH, pokazao je da je sazreo kao igrač, da može da pokrije veliki deo terena, da je agresivan, stalno u pokretu, tehnički veoma 'potkovan'. On će nam doneti snagu u tom delu terena".
Bešić je, inače, rođen u Nemačkoj, a profesionalnu karijeru je počeo u Hamburgu, da bi u Ferencvaroš prešao 2012. godine.